แนะนำการใช้เส้นโครงแผนที่ความเพี้ยนต่ำ (Low Distortion Projection)

 Low Distortion Projection คืออะไร

เส้นโครงแผนที่ทุกอันจะมีความเพี้ยน (distortion) เป็นความจริงที่ไม่สามารถหลีกเลี่ยงได้ ความเพี้ยนนี้ก็คือระยะทางที่ต่างกันระหว่างวัดจริงๆของจุดสองจุดบนพื้นผิวภูมิประเทศของโลกกับระยะทางที่ได้จากแผนที่ ความเพื้ยนนี้จะมีความสลักสำคัญอย่างมาก ดังตัวอย่างเช่นที่ผมได้กล่าวไปแล้วใน ตอนก่อนหน้านี้ ที่ค่าความเพื้ยนมากถึง ±823 ppm (ระยะทาง 1 กม. จะมีความเพี้ยนถึง 823 มม. หรือ 82.3 ซม.)

ความเพี้ยนนี้อาจนำไปสู่ความคิดที่ว่าระยะทางตัวไหนกันแน่ที่เป็นค่าที่ถูกต้อง ค่าความเพี้ยนนี้ไม่สามารถกำจัดออกไปได้ แต่สามารถทำให้น้อยลงได้ ด้วยวิธีการที่ผมจะนำเสนอต่อไปคือ Low distortion projection (LDP) ถ้าแปลอนุมานได้วา เส้นโครงแผนที่ความเพี้ยนต่ำ ต่อไปผมจะเรียกสั้นๆว่า LDP

LDP คือเส้นโครงแผนที่รักษามุม (Conformal Projection) และนำมาประยุกต์ใช้ในพื้นที่กว้างใหญ่ โดยที่ค่าความเพี้ยนนั้นน้อยจนสามารถที่จะยอมรับได้

ความเป็นมา

แรกเริ่มเดิมทีในอเมริกา ตั้งแต่ทางการได้ประกาศใช้ระบบพิกัด State Place Coordinate System (SPC) มาตั้งแต่ NAD27 จนกระทั่ง NAD83 และตัว NAD83 เองก็มีการปรับแบบ realizationเป็นระยะๆ ปัญหาเรื่องสเกลแฟคเตอร์ ที่บางรัฐมีค่าความเพี้ยนมาก ทำให้ยุ่งยากต่อการปฏิบัติงานในสนามของช่างสำรวจ ในช่วง 20 ปีที่ผ่านมา ได้มีคนนำ LDP มาใช้ ทำให้มีการถกเถียงกันในวงกว้างพอสมควร ว่าอาจจะนำไปสู่่ความไม่มีมาตรฐาน แต่สุดท้ายทางการ National Geodetic Survey (NGS) ได้ออกประกาศแนวทางการนำไปใช้ ทำให้การถกเถียงสิ้นสุดลง มีการนำไปใช้อย่างกว้างขวาง ในการออกแบบสิ่งก่อสร้างโครงการต่างๆ ทำให้งานสำรวจในภาคสนามได้รับความสะดวกมากขึ้น เช่นงานสำรวจเก็บพื้นที่ภูมิประเทศ งานสำรวจวางผัง ที่ไม่ต้องกังวลกับค่าสเกลแฟคเตอร์ และสุดท้ายสามารถแปลงค่าพิกัดบน LDP เหล่านี้ไปหาระบบพิกัดฉากของรัฐ (SPC) ได้ทำให้ไม่มีปญหาสำหรับการแปลงข้อมูลในงาน GIS

ชนิดของความเพี้ยน

ความเพี้ยน (distortion) เป็นผลจากการที่นำลักษณะของวัตถุบนพื้นโลกที่โค้งไปแสดงผลบนระนาบราบบนกระดาษ ไม่สามารถกำจัดได้ แต่ทำให้มันน้อยลงได้ ความเพี้ยนมี 2 ประเภทคือ

1. ความเพี้ยนเชิงเส้น (Linear distortion)  คือระยะทางที่ต่างกันระหว่างวัดจริงๆของค่าพิกัดของจุดสองจุดบนพื้นผิวภูมิประเทศของโลกกับระยะทางที่ได้จากคำนวณจากค่าพิกัดบนระบบพิกัดฉาก ใช้สัญลักษณ์ δ
   • การแสดงความเพี้ยนจะนิยมใช้อัตราส่วน ppm – part per million คือหนึ่งล้านต่อล้านส่วน ลองมาดูที่ไปที่มา ระยะทาง 1 กม. ถ้าทำเป็นหน่วยมิลลิเมตร จะได้ 1 กม. = 1000 ม. = 1000 x 1000 = 1000000 มิลลิเมตร ดังนั้นถ้า 20 ppm จะหมายถึง 20 มม.ต่อ 1 กม. (ต่อหนึ่งล้านมิลลิเมตร)
   • เครื่องหมาย δ สามารถเป็นได้ทั้งบวกและลบ ถ้าเป็นลบจะหมายถึงว่าระยะทางบนระบบพิกัดฉากจะสั้นกว่าระยะทางจริงบนพื้นโลก ถ้าเครื่องหมายเป็นบวกแสดงว่า ระยะทางบนระบบพิกัดฉากจะยาวกว่าระยะทางจริงๆที่วัดบนพืนโลก
2. ความเพี้ยนเชิงมุม (Angular distortion) ความเพี้ยนของมุมทิศเหนือของระบบพิกัดฉาก (grid north) กับทิศเหนือจริง (geodetic north) เรียกความต่างของมุมนี้อีกชื่อหนึ่งว่า convergence แทนด้วยสัญลักษณ์ γ
   • มุม convergence จะเป็นศูนย์ถ้าจุดนั้นอยู่บนเส้น central meridian (CM) ของ TM หรือ standard parallel ของ LCC และค่ามุมนี้จะมากขึ้นเรื่อยๆตามระยะทางที่ไกลออกมาจาก CM ความสำคัญของความเพี้ยนเชิงมุมนี้จะไม่สำคัญมากเท่ากับ ความเพี้ยนเชิงเส้น ความเพี้ยนเชิงมุมสามารถจำกัดมันได้ ด้วยจำกัดพื้นที่ของโครงการไม่ให้ใหญ่มากเกินไป (ระยะทางจาก CM ไม่มากเกินไป)

การเลือกเส้นโครงแผนที่

การเลือกเส้นโครงแผนที่สำหรับการทำแผนที่สเกลใหญ่ๆ สำหรับ LDP เท่าที่นิยมกันมากจะมีอยู่ 3 ประเภทเท่านั้นคือ

1. Transverse Mercator (TM) ใชักันมากเส้นโครงนี้ได้จากการใช้ทรงกระบอกในแนวนอนราบมาครอบทรงรี ที่เราคุ้นกันดีก็คือ UTM พื้นที่ที่เหมาะสมคือประเทศที่มีพื้นที่มีความยาวจากเหนือไปใต้ เช่นประเทศไทยก็เหมาะสมกับแบบนี้
2. Lambert Conformal Conic (LCC) ใช้กันมากพอสมควรในหลายๆประเทศ โดยเฉพาะอเมริกาและยุโรป ได้จากการใช้ทรงกรวยมาครอบทรงรีในแนวตั้ง เหมาะสมสำหรับประเทศที่มีพื้นที่ที่ยาวจากตะวันตกไปตะวันออก (ระบบพิกัดของเมียนมาร์ก็เคยใช้เส้นโครงนี้ก่อนจะเปลี่ยนมาใช้ UTM ในระบบพิกัด Myanmar Datum 2000 ในปัจจุบัน  ซึ้งพื้นที่ของเมียนมาร์จะยาวจากเหนือลงมาใต้คล้ายของประเทศไทย)
3. Oblique Mercator (OM) เป็นเส้นโครงแผนที่ที่ได้จากการใช้ทรงกระบอกแบบเอียงเป็นมุม มาครอบทรงรีให้แนวตัดพาดผ่านไปตามพื้นที่ พื้นที่ที่จะเลือกมาใช้เส้นโครงแบบนี้จะเป็นลักษณะยาวเฉียงๆจากตะวันออกเฉียงเหนือลงมาทิศตะวันตกเฉียงใต้ หรือตะวันตกเฉียงเหนือลงมาทิศตะวันออกเฉียงใต้

สำหรับ OM ถ้าจินตนาการลำบาก ลองดูรัฐอลาสก้า โซน 1 (Alaska zone 1) ของอเมริกาที่ใช้เส้นโครงแผนที่ OM ลองดูจากรูปด้านล่างเข้าใจได้ง่าย

จะเห็นรอยประ รอยนี้คือที่ทรงกระบอกสัมผัสกับทรงกลม (aposphere) ย้ำว่าทรงกลมไม่ใช่ทรงรี จากนั้นถึง project จากทรงกลมนี้ลงบนทรงรีอีกที สำหรับ OM นั้นซับซ้อนกว่าเส้นโครงแผนที่อื่นเล็กน้อย รอยประ (initial line) นี้ในพารามิเตอร์การแปลงพิกัดจะกำหนดเป็นค่าอะซิมัทเรียกว่า azimuth of initial line และเส้นรอยประนี้จะไปตัดกับศูนย์สูตรของทรงกลม aposphere ที่ natural origin เส้นรอยประนี้จะกำหนดสเกลให้เรียกสเกลนี้ว่า scale factor of initial line  และจะกำหนดจุดใดจุดหนึ่งที่อยู่บนเส้นประนี้เรียกว่า center of projection

มิตรประเทศแถวๆบ้านเรา ก็มีมาเลเซียที่ใช้เส้นโครงแผนที่นี้อยู่ เรียกว่า Malaysia Rectified Skew Orthometric (Malaysia RSO) ประเทศอื่นที่ใช้ได้แก่ สวิตเซอร์แลนด์, มาดากัสการ์, ฮังการี

พฤติกรรมความเพี้ยนเชิงเส้นของเส้นโครงแผนที่

ก่อนจะไปถึงการออกแบบและประยุกต์ใช้เส้นโครงความเพี้ยนต่ำ ลองมาศึกษาพฤติกรรมของความเพี้ยนเชิงเส้นว่าขึ้นอยู่กับอะไรบ้าง เมื่อรู้พฤติกรรมนี้แล้วสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้อย่างเหมาะสม

ความเพี้ยนเชิงเส้นเกิดจากตัวแปรสองตัวแปรคือความโค้งของผิวโลกและความสูงเหนือทรงรี มาลองพิจารณาความเพี้ยนที่เกิดจากตัวแปรแรกคือความโค้งของผิวโลก ตารางด้านล่างแสดงความเพี้ยนเชิงเส้นในแนวราบเทียบกับความกว้างของแต่ละโซนของเส้นโครงแผนที่

จะเห็นว่าถ้าความกว้างของโซนเส้นโครงแผนที่ไม่กว้างมากจะมีค่าความเพี้ยนที่ต่ำ ส่วนความกว้างของโซน UTM ผมคิดที่ latitude 13° พาดผ่านกรุงเทพฯ ความกว้างประมาณ 650 กม. โซน UTM จะกว้างมากที่สุดที่เส้นศูนย์สูตร จากนั้นจะค่อยๆสอบเล็กลงตาม latitude ที่เพิ่มมากขึ้น ตัวอย่างเช่นรัฐทางเหนือของอเมริกาที่ latitude 40° จะมีความกว้างประมาณ 410 กม.

ความเพี้ยนเชิงเส้นอีกตัวแปรหนึ่งจะขี้นอยู่กับค่าระดับความสูงเมื่อเทียบกับทรงรี (Ellipsoidal height) โดยประมาณแล้ว ความสูงที่เปลี่ยนจากเดิม 30 เมตร ค่าความเพี้ยนเชิงเส้นจะเปลี่ยนไปประมาณ ± 4.7 ppm คงที่ พิจารณาจากตารางด้านล่าง

การประยุกต์และนำไปใช้

สองตัวแปรนี้เวลาคิดความเพี้ยนเชิงเส้นรวมจะเอามาคูนกัน สมมติว่าต้องการออกแบบความกว้างของโซนของเส้นโครงแผนที่ Transverse Mercator กว้าง 81 กิโลเมตร มีค่าความเพี้ยนทางราบ ±10 ppm ยาวขึ้นไปทางเหนือ 100 กม. ถ้าใช้เส้นโครงแผนที่ TM หมายเหตุเหนือ-ใต้ที่ longitude เดียวกันจะมีค่า grid scale factor เท่ากัน ดังนั้นจะยาวมากกว่านี้ก็ได้

ผมกำลังสมมติเล่นๆว่าถ้าต้องการออกแบบและสร้างเส้นโครงแผนที่ สำหรับกรุงเทพมหานคร รวมปริมณฑลเช่นสมุทรปราการ. นนทบุรี, ปทุมธานี จะสามารถทำได้ไหม ค่าระดับบนพื้นดินของกรุงเทพและปริมณฑล ผมไม่มีตัวเลขเป๊ะ แต่ค่าเฉลี่ยสูงต่ำน่าจะไม่เกิน 10 เมตร ซึ่งผมคำนวณค่าความเพี้ยนที่เกิดจากความสูงได้ ±1.6 ppm เมื่อนำความเพื้ยนทั้งสองตัวแปรมาคูนกันจะได้ ±16 ppm ซึ่งไม่เกินตัวเลขในฝันคือไม่ควรเกิน ±20 ppm

สำหรับหนึ่งกม.ระยะทางบนระบบพิกัดฉากกับระยะทางบนพื้นดิน ต่างกันแค่ 16 มม. ถือว่าน้อยมากครับ สมมติว่ามีหมุด GPS หนึ่งคู่ คำนวณระยะทางบนระบบพิกัดฉาก LDP ห่างกัน 100.0 เมตรพอดี  จากนั้นเอากล้อง  total station มาทดสอบวัดระยะทางซึ่งควรจะได้ 100.0016 เมตร ถ้าตัวเลขค่าความเพี้ยนเป็นบวก หรือวัดได้ 99.9984 เมตร ถ้าค่าความเพี้ยนเป็นลบ ต่างกัน 1.6 มม. ผมก็ยังถือว่าน้อยนะครับ

เช่นเดียวกันถ้าเอากล้อง total station มาวางผัง ก็ยังรับกันได้สบายๆ การสำรวจภูมิประเทศก็สามารถทำได้ตามปกติ การเก็บขอบเขตที่ดินก็สามารถทำได้เช่นเดียวกัน และที่สำคัญที่สุดคือระบบพิกัดบน LDP สามารถแปลงไปหาระบบพิกัดฉาก UTM หรือ Geographic ได้ตลอดเวลาที่ต้องการ ส่วนใหญ่ซอฟแวร์ด้าน GIS หรือด้าน CAD ทั้งหลายก็สนับสนุนการใช้ LDP ได้อยู่แล้วในขณะนี้ เพียงแต่ค่าพารามิเตอร์ของ LDP  ต้องไปกำหนดให้ซอฟแวร์เหล่านี้ได้รู้จัก

ตัวอย่างการใช้งาน

ตัวอย่างการใช้งานผมเข้าไปศึกษารัฐโอเรกอนของอเมริกาครับ เข้าไปดูได้ตามลิ๊งค์นี้ Oregon Coordinate Reference System และมีคู่มือกล่าวถึงที่มา การศึกษาออกแบบอ่านได้ตามลิ๊งค์นี้ OCRS Handbook & User Guide ซึ่งรัฐโอเรกอนพื้นที่เล็กกว่าประเทศไทยครึ่งหนึ่ง จำนวน LDP ทั้งหมดในรัฐนี้ 39 เส้นโครงแผนที่ มีครบหมดไม่ว่าจะเป็น Transverse Mercator, Lambert Conformal Conic และ Oblique Mercator ดูตามรูปด้านล่าง

เครื่องมือตัวใหม่

Init Design LDP เป็นเครื่องมือตัวใหม่ที่กำลังพัฒนาครับ เนื่องจากการออกแบบ LDP ค่อนข้างจะมีการลองแล้วทดสอบหาค่าความเพี้ยนเปรียบเทียบกัน โดยมีการขยับย้ายแกน central meridian  และสลับกับการเปลี่ยนค่า scale factor (k0) ที่แกน central meridian ด้วย ทำให้โปรแกรมไม่สามารถเขียนได้ลึกซึ้งขนาดนั้น จึงเป็นเครื่องมือที่มาช่วยออกแบบในเบื้องต้น

Create LDP เป็นเครื่องมืออีกตัวที่กำลังพัฒนาเช่นเดียวกัน เมื่อได้พารามิเตอร์ของเส้นโครงแผนที่ต่ำแล้วสามารถนำมาป้อนและจัดเก็บเข้าฐานข้อมูล นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณหาค่าความเพี้ยน แปลงพิกัดจากระบบพิกัดมาตรฐานทั่วๆไป มายัง LDP ได้โดยที่ LDP สามารถออกแบบและเก็บไว้ในฐานข้อมูลได้ อนาคตจะนำ LDP นี้ไปรวมกับการแปลงพิกัดทั่วๆไปเช่น Transform Coordinates, File Transform Coordinates หรือ Area

 

ถ้าโปรแกรมทูลส์สองตัวนี้เสร็จก็น่าจะได้นำจะมาลองออกแบบ LDP ดูกันเป็นกรณีศึกษา เริ่มตั้งแต่หาค่าความสูงจาก ellipsoid ซึ่งเป็นตัวแทน (h0) ที่จะว่าง LDP บนระนาบนี้ จากนั้นจะหาจุดศูนย์กลางของพื้นที่เพื่อวาง Central meridian จากนั้นกำหนดค่า scale factor (K0) และที่สำคัญคือการคำนวณหาค่าความเพี้ยนเพื่อเปรียบเทียบ จากนั้นจะมีการปรุงและกลั่น ปรับค่าโดยการขยับ Central Meridian หรือปรับค่า K0 จนความเพี้ยนเฉลี่ยในพื้นที่โครงการมีค่าน้อยที่สุด

แนวทางการออกแบบนี้ผมเดินตามทาง Michael L. Dennis ที่ตัวผมเองนับถือและคิดว่าเขาเป็นเจ้าพ่อในด้านนี้ มีงานเขียนออกมามากมายเพราะเป็นที่ปรึกษาและรับงานออกแบบ LDP ในหลายๆรัฐของอเมริกา ลองค้นชื่อนี้กับคำว่า LDP  ดูจะเห็นลิ๊งค์มากมาย

ส่วนจะมีใครนำ LDP ไปใช้ที่ไหน อย่างไร ก็เป็นเรื่องอนาคตที่ดี ถ้ามีหน่วยงานคล้ายๆของรัฐโอเรกอน มาออกแบบและตั้งเป็นมาตรฐานก็น่าจะดี นอกจากจะสะดวกสำหรับช่างสำรวจทำแผนที่หน้างานหรืองานสำรวจสำหรับวางผัง ไม่ว่าจะเป็นโครงการเล็กๆจนถึงโครงการใหญ่ๆและยาวๆเช่นทางด่วน ถนนมอเตอร์เวย์ ก็ยังสามารถประยุกต์ใช้งานกันได้ดี

พบกันตอนต่อไปครับ ปิดท้ายด้วยวาทะนี้ “เป็นความจริงที่ความเพี้ยนของเส้นโครงแผนที่ไม่สามารถกำจัดได้ แต่สามารถทำให้น้อยลงได้”