จากที่ผมได้เขียนโปรแกรมลงเครื่องคิดเลข HP Prime G2 คำนวณโค้งสไปรัล ทำให้เห็นว่าจะต้องใช้สูตรตัวไหน เริ่มต้นคำนวณอย่างไร เป็นลำดับขั้นตอนไปอย่างไร ช่างสำรวจหรือวิศวกรสำรวจน้อยคนนักที่จะได้คำนวณโค้งสไปรัล ปัจจุบันโปรแกรมออกแบบงานถนน งานรถไฟอย่าง Civil 3D สามารถออกแบบงานได้ตั้งแต่เริ่มต้นจนจบ การไปเลเอ้าท์หน้างานก็อาศัยโปรแกรมจากแคด จึงทำให้โอกาสน้อยคนที่จะสามารถคำนวณเองด้วยมือได้ ความลับดำมืดจึงยังคงอยู่กับโค้งสไปรัลต่อไป แต่ถ้าตั้งใจทำความเข้าใจลำดับการคำนวณโค้งสไปรัลก็ไม่ได้ยากเลย เพียงแต่ต้องหาสูตรให้ถูกที่ถูกทางก่อน หลายๆสูตรไปผูกกับหน่วยฟุตแนบแน่น จนทำให้คนใช้หน่วยเมตริกแบบพวกเรามาตั้งแต่เรียนจบ ออกอาการงงๆเบลอๆ
ยุคนี้เป็นยุคงานก่อสร้างรถไฟความเร็วสูง (High Speed Rail) โค้งที่นำมาประยุกต์ใช้เป็นโค้งสไปรัล ดังนั้นช่างสำรวจและวิศวกรสำรวจควรจะทำความเข้าใจให้กระจ่าง ที่ผ่านมาผมก็เช่นกันเห็นตำราคำนวณโค้งสไปรัลแล้ว จับต้นชนปลายไม่ถูก เนื่องจากสูตรดูเหมือนเยอะทำให้เข้าใจไม่ทะลุปรุโปร่งสักที บทความนี้จะนำเสนอสูตร วิธีการใช้ที่ผมเอามาเขียนโปรแกรมบนเครื่องคิดเลข HP Prime และที่พิเศษคือมาคำนวณกันด้วยมือ สิ่งที่ต้องเตรียมคือเครื่องคิดเลขกับกระดาษทด เมื่อได้ผลลัพธ์แล้วลองมาเทียบกับผลลัพธ์จากเครื่องคิดเลขดูกัน
ลักษณะโค้งสไปรัล (Spiral Curve)
สำหรับโค้งสไปรัลที่เราใช้ในเมืองไทยคือแบบ Clothoid spiral ส่วนแบบอื่นๆไม่ได้กล่าวถึงในที่นี่ โค้งสไปรัลในการใช้งานจะนำไปรวมกับโค้งวงกลม โค้งสไปรัลจะเป็นโค้งที่รัศมีไม่คงที่ถ้าเริ่มเข้าโค้งสไปรัลที่จุด TS จะเริ่มจากรัศมีเป็นอนันต์แล้วรัศมีค่อยๆลดลงไปเรื่อยๆจนไปเท่ากับรัศมีวงกลมที่มาต่อกันที่จุด SC จากนั้นจะเข้ารัศมีโค้งวงกลมจนกระทั่งสิ้นสุดโค้งวงกลมที่จุด CS จะต่อด้วยโค้งสไปรัลอีกที รัศมีโค้งสไปรัลจะเริ่มมากขึ้นเรื่อยๆ จนเป็นอนันต์ที่จุดออกจากโค้งสไปรัลที่จุด ST
credit: http://www.jerrymahun.com/ 
เส้นสีน้ำเงินคือโค้งสไปรัล สีแดงคือโค้งวงกลม
สูตรคำนวณโค้งสไปรัล (Spiral Curve Formula)
เนื่องจากโค้งสไปรัลเอาไปผสมใช้กับโค้งวงกลม ดังนั้นถ้าเป็นโค้งผสมแบบสมมาตรคือความยาวโค้งสไปรัลเข้าและออก (Entrance spiral & Exit spiral) จะกำหนดให้ความยาว (LS) เท่ากัน ผมจะนำเสนอแบบสมมาตรเพื่อการคำนวณออกมาง่ายที่สุดและนิยมใช้แบบสมมาตรมากกว่าแบบอสมมาตร
การคำนวณหาองค์ประกอบของโค้งสไปรัลเป็นสิ่งจำเป็นอันดับแรกที่ต้องคำนวณก่อนจากโจทย์ที่กำหนด ส่วนใหญ่จะให้ความยาวโค้งสไปรัล (LS) มาให้, กำหนดรัศมีโค้งวงกลม (RC) และกำหนดมุมเบี่ยงเบน (Δ) สามอย่างนี้เราสามารถคำนวณหาองค์ประกอบโค้งสไปรัลและโค้งวงกลมได้หมด
สำหรับสูตรในกรอบสีชมพูด้านบนสองบรรทัดล่าง จะสังเกตุเห็นสูตรหาระยะ offset (X,Y) ที่จุดใดๆ เมื่อทราบความยาวโค้ง (ls) ใดๆของจุดนั้น
แผนผังแสดงส่วนประกอบโค้งสไปรัล
ถ้าลากโค้งวงกลมผ่านจุด SC มาแตะจุดที่เรียกว่า PCO จุดนี้จะเป็นจุดที่ขนานกับเส้น semi-tangent หรือคิดง่ายๆถ้าลากเส้นจากจุดศูนย์กลางวงกลมผ่านจุด PCO ไปตั้งฉากกับเส้น semi-tangnet ระยะทางวัดตั้งฉากจากปลายเส้นโค้งนี้ไปหาเส้น semi-tangent จะได้ระยะทาง p ถ้าจับ Rc บวกกับระยะ p แล้วดูความสัมพันธ์กับระยะทาง T จะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีด้านประกอบมุมฉากคือด้าน p+Rc, T และด้านที่ลากจากศูนย์กลางโค้งวงกลมไปหาจุด PI ตรงนี้มีมุม Δ/2 ถ้าเอา T หารด้วย (Rc+p) จะได้ T/(Rc+p) = tan (Δ/2)
ถ้าลากเส้นขนานกับเส้น semi-tangent ไปหาจุดเริ่มต้นสไปรัล (TS) จะได้ระยะทาง k ดูรูปขยายด้านล่าง อันนี้ง่ายจะได้ Ts = T + k
ตัวอย่างที่ 1
โจทย์คำนวณโค้งสไปรัลกำหนดมุมเบี่ยงเบน (Δ) 30° รัศมีโค้งวงกลม (Rc) 382 เมตร ความยาวโค้งสไปรัล (Ls) 120 เมตร กำหนดสถานีที่จุด TS 0+708
วิธีคำนวณหาองค์ประกอบโค้ง Δs, Δc และ Lc
เมื่อรู้สามอย่างอย่างที่ผมบอกคือ Δ, Rc และ Ls จะสามารถหาองค์ประกอบโค้งได้ทั้งหมด อันดับแรกเราจะคำนวณหามุมเบี่ยงเบนของโค้งสไปรัล (Δs) , มุมเบี่ยงเบนของโค้งวงกลม (Δc) และความยาวโค้งวงกลม (Lc) มาดูสูตรสามบรรทัดแรกก่อนด้านขวามือ คำนวณหามุมเบี่ยงเบนของโค้งสไปรัล Δs ดังบรรทัดด้านล่าง
มุม Δs ที่ได้มาเป็นเรเดียนเมื่อนำมาคูนกับ 180/¶ จะได้หน่วยเป็นดีกรี ต่อไปคำนวณหา Δc จากสูตรที่สอง
ต่อไปหาความยาวโค้งวงกลม (Lc)
วิธีคำนวณหาระยะออฟเซ็ท Xs, Ys
ระยะออฟเซ็ท (Xs, Ys) ต้องหาเพราะว่าจะต้องไปคำนวณหา p และ k มาดูไดอะแกรมที่ผมขยายให้ใหญ่ขึ้น Xs จะวัดจากจุด TS ไปตามเส้น semi-tangent (TS – PI) ส่วน Ys วัดตั้งฉากไปหาจุด SC
ในที่นี่มุม θ = Δs = 8°59’57.61″ = 8.99933611° = 0.15706806 เรเดียน เอามุมหน่วยเป็นเรเดียนไปแทนที่ในสมการ Xs, Ys
วิธีคำนวณหาระยะ p, q และ T, Ts
เมื่อได้ค่า Xs, Ys จะนำไปแทนค่าในสมการ
วิธีคำนวณหาสถานี (Stationing)
เมื่อได้องค์ประกอบของโค้งแล้ว ขั้นต่อไปจะคำนวณหาสถานี (stationing) จากโจทย์กำหนดให้จุด TS 0+708 สถานี SC, CS , ST จะคำนวณไปตามระยะโค้ง ส่วน PI จะพิเศษหน่อยตรงที่บอกระยะ semi-tangent (Ts) เข้าไปตรงๆ
PI Sta = TS Sta + Ts = 708 + 192.728 = 0 + 900.728
SC Sta = TS Sta + Ls = 708 + 120 = 0 + 828
CS Sta = SC Sta + Lc = 828 + 80.015 = 0 + 908.015
ST Sta = CS Sta + Ls = 908.015 + 120 = 1 + 028.015
เปรียบเทียบผลลัพธ์กับเครื่องคิดเลข
ผมป้อนข้อมูลตามโจทย์ตัวอย่างที่ 1 เข้าไปและผลลัพธ์ได้ดังนี้ โดยที่จำนวนทศนิยมผมตั้งไปที่ 8 ตำแหน่ง แต่จะสังเกตุเห็นว่าระยะ p ที่คำนวณได้ 1.56929848 m แต่จากที่คำนวณจากโปรแกรมเครื่องคิดเลขด้านล่างได้ p = 1.56929745 m ต่างกันที่ตำแหน่งที่ 6 เพราะเราใช้มุม Δs = 8°59’57.61″ ที่ปัดมาแล้ว ถ้าคำนวณจริงๆแบบไม่ปัดคือ p = 6.27165998 – 382(1-cos(120/(2×382)*180/PI) = 1.56929745 m แต่สำหรับผมแล้วต่อให้มุมปัดไม่ปัด ในการทำงานจริงๆต้องการแค่ตำแหน่งที่ 3 การต่างกันที่ตำแหน่งที่ 6 ถือว่าไม่มีนัยสำคัญ
ก็ขอพักตอนที่ 1 ไว้ตรงนี้ก่อน ตอนที่ 2 มาว่ากันเรื่องการคำนวณค่าพิกัดบนโค้งและการคำนวณหาค่าพิกัดของเส้นโค้งที่ออฟเซ็ทออกไปด้านซ้ายหรือด้านขวา