ไขความลับดำมืดโค้งสไปรัล ตอนที่ 2 (จบ)

ทิ้งระยะจากตอนที่ 1 ไปนานพอสมควร มาต่อตอนที่ 2 ซึ่งเป็นตอนจบ สิ่งที่ผมนำเสนอและย้ำไปในตอนที่ 1 คือสูตรคำนวณโค้งสไปรัลไม่ได้เยอะมาก การคำนวณแบ่งได้เป็น สามส่วนคือส่วนแรกคำนวณหาส่วนประกอบโค้งสไปรัล จากโจทย์ที่กำหนดให้ความยาวโค้งสไปรัล (Ls) รัศมีโค้งวงกลม (Rc) และมุมเบี่ยงเบน (Δ) รวมถึงทิศทางโค้งเลี้ยวซ้ายหรือเลี้ยวขวา เพียงแค่นี้ก็สามารถคำนวณหา Δs, Δc, Lc และ ระยะ p, q และ T, Ts

ส่วนที่สองคือคำนวณหาค่าพิกัดจุดบนโค้ง การจะหาพิกัดได้ต้องทราบอะซิมัทและระยะทาง ดังนั้นโจทย์จะกำหนดอะซิมัทของเส้น Back tangent หรือ Foreward tangent มาให้ก็ได้

ส่วนที่สามคือคำนวณหาค่าพิกัดของจุดที่ออฟเซ็ทจากเส้นโค้ง ซึ่งในบทความตอนที่ 2 จะมาคำนวณหาค่าพิกัดของจุดบนโค้งสไปรัลและคำนวณหาจุดที่ออฟเซ็ทจากเส้นโค้ง ก่อนจะไปต่อผมขอยกสูตรและแผนผังโค้งสไปรัลจากบทความตอนที่ 1 มาแสดงอีกครั้ง

การคำนวณหาค่าพิกัดจุดออฟเซ็ทของโค้งสไปรัล

ผมพยายามใช้สูตรสำเร็จรูปที่สั้นกระชับแต่ไม่ได้ผล เนื่องจากเงื่อนไขโค้งอาจจะเลี้ยวซ้ายหรือเลี้ยวขวา หรือเป็นการคำนวณเส้นโค้ง Entrance spiral หรือคำนวณช่วง Exit spiral ผมจึงใช้วิธีโดยอ้อม ที่เข้าใจได้ง่ายกว่า หลักๆคือการไล่คำนวณอะซิมัท มาดูแผนผังกันก่อน

เราทราบค่าพิกัด TS (N1,E1) เราสามารถหาค่าพิกัดของจุดใดๆบนเส้นโค้งสไปรัล (N2,E2) จากที่ทราบความยาวโค้งสไปรัล (ls) ตรงจุดนั้นๆ ด้วยสูตร x,y สองบรรทัดสุดท้ายของกรอบสี่เหลี่ยมด้านบน

คำนวณค่าพิกัดจุด N2,E2

ดูตามแผนผังด้านบนเราทราบค่าอะซิมัทของเส้น Back tengent (⍺) อันดับแรกเราจะคำนวณหาระยะทาง x และ y เมื่อทราบความยาวโค้งที่จุดใดๆ (ls) และที่ขาดไม่ได้คือตัวอย่างโจทย์เพื่อให้เราสามารถคำนวณมือตามไปได้

ตัวอย่าง

โจทย์คำนวณโค้งสไปรัลเลี้ยวขวากำหนดมุมเบี่ยงเบน (Δ) 30° รัศมีโค้งวงกลม (Rc) 382 เมตร ความยาวโค้งสไปรัล (Ls) 120 เมตร กำหนดสถานีที่จุด TS 0+708 ที่มีค่าพิกัด (5000mN, 2500mE) และอะซิมัทของเส้น Back tanget = 85°30’12” ต้องการค่าพิกัดของจุดบนเส้นโค้งที่สถานี 0 + 750 และต้องการค่าพิกัดจุดที่ออฟเซ็ทไปด้านซ้าย 10 เมตร

• 

• 

หาความยาวโค้ง (ls) จากสถานีที่กำหนดมา = 750-708 = 42 เมตร กำหนด Rc = 382 เมตร กำหนดความยาวโค้งสไปรัล = 120 เมตร ดังนั้นหา θ = 42²/(2*382*120) = 0.01924084 เรเดียน

เมื่อได้ θ เอาไปใส่สูตรเพื่อคำนวณหาระยะออฟเซ็ท x, y

ต่อไปเราจะหาระยะทางไปจุด N2,E2 = √(41.99844515²+0.26936460²) = 41.99930895 เมตร

หามุมสามเหลี่ยมที่ประกอบด้าน x, y = arctan(0.26936460/41.99844515) = 0.36746422 = 0°22’2.8712″

ต่อไปการคำนวณหาค่าพิกัด N2,E2 ไม่ใช่เรื่องยากแล้วเพราะเราทราบค่าพิกัด N1,E1 และมุมอะซิมัท หาได้จากอะซิมัทของเส้น Back tangent ที่กำหนดมาบวกกับมุมของสามเหลี่ยมไปหาจุด N2,E2 ซึ่งคำนวณได้ = 85°30’12” + 0°22’2.8712″ = 85°52’14.8712″

ต่อไปจะคำนวณหาค่าพิกัด N2,E2

N2 = N1 + distance * cos(azimuth) = 5000 + 41.99930895*cos(85°52’14.8712″) = 5003.02419424

E2 = E1 + distance * sin(azimuth) = 2500 + 41.99930895*sin(85°52’14.8712″) = 2541.89028767

คำนวณค่าพิกัดจุดออฟเซ็ทจากโค้งสไปรัล N3,E3

ย้อนไปดูแผนผังที่ 1 ถ้าจะคำนวณหาค่าพิกัด N3,E3 จากจุด N2,E2 จะต้องทราบระยะทาง d = 10 เมตรจากที่โจทย์กำหนดมาให้ ส่วนที่จะต้องคำนวณหาคือค่ามุม azimuth2 ย้อนไปที่จุด TS เราสามารถคำนวณหา azimuth1 ได้ ซึ่งถ้าดูแผนผังจะเห็นว่ามุม azimuth1 = 85°30’12” + 90° = 175°30’12”

มุม θ ที่เราคำนวณได้ในตอนแรก = 0.01924084 เรเดียน x 180/¶ = 1°6’8.70813″

azimuth2 = azimuth1 + θ ± 180 = 175°30’12” + 1°6’8.70813″ ± 180 = 176°36’20.70813″ + 180 (ต้องบวก 180 เนื่องจากน้อยกว่า 180) = 356°36’20.70813″

N3 = N2 + distance * cos(azimuth) = 5003.02419424 + 10*cos(356°36’20.70813″) = 5013.00665201

E3 = E2 + distance * sin(azimuth) = 2541.89028767 + 10*sin(356°36’20.70813″) = 2541.29822613

ผมลองเปรียบเทียบกับผลลัพธ์ที่ผมเขียนลงบนเครื่องคิดเลข HP Prime G2 ผลลัพธ์ต่างกันที่ทศนิยมที่ 5 แสดงว่าการคำนวณด้วยมือมีการปัดทศนิยมส่วนในเครื่องคิดเลขเก็บผลลัพธ์แต่ละค่าลงตัวแปร ทำให้ไม่มีการปัดทศนิยม แต่การต่างกันที่ทศนิยมที่ 5 ไม่มีนัยสำคัญ หวังว่าบทความสองตอนนี้คงมีประโยชน์กับผู้อ่านที่สนใจเรื่องนี้พอสมควร โปรดติดตามกันตอนต่อไปครับ